El ex número uno del mundo y ganador de tres títulos de Grand Slam formó pareja con Evans y se impuso por 2-6, 7-6 y 11-9 a los japoneses Taro Daniel y Kei Nishikori.
El dúo británico perdía por 9-4 en el desempate final, pero Nishikori cometió una doble falta en uno de los puntos de partido, lo que aumentó la tensión en la pista Suzanne Lenglen.
Murray, dos veces medalla de oro en individuales en los Juegos Olímpicos de 2012 y 2016, se retirará del deporte una vez finalizada su olimpiada.
"Me he sentido bien esta mañana. Estaba un poco nervioso, pero no me sentía fatal", dijo Murray al recordar el que podría haber sido su último día como tenista.
"Cuando empezó el partido lo estaba sintiendo un poco, era consciente de la situación pero todavía tengo algo de orgullo, quiero rendir bien".
"Siempre hay presión jugando para tu país en los Juegos Olímpicos. Quieres esa presión y si no la sintiera, entonces no debería estar aquí".
Las hazañas de Murray a lo largo de los años incluyen el famoso final de la espera de 77 años de Gran Bretaña para un campeón masculino en Wimbledon cuando triunfó en 2013.
Sin embargo, se ha visto afectado por las lesiones en los últimos años, cayendo al puesto 121 del mundo. Se retiró de los individuales en París.
El escocés ha jugado con una cadera de metal desde 2019 y sufrió daños en el tobillo a principios de este año antes de someterse a una cirugía para extirpar un quiste espinal, que lo dejó fuera de los individuales en Wimbledon.
Describió la actuación típicamente valiente del domingo como "hasta allí" con sus mejores luchas de marca registrada.
"El cuerpo no se siente increíble. No he jugado mucho al tenis en los últimos meses", dijo.
"Pero he remontado muchos partidos que parecía que no iba a ganar. Siempre he tenido esa fortaleza y fuerza mental".
"He remontado dos sets en contra más que nadie, pero hoy no podría haberlo hecho solo".
Evans dijo que podría retirarse de su duelo individual contra el tunecino Moez Echargui el lunes para conservar energía para su asociación con Murray.
"Nuestra mejor oportunidad de medalla no soy yo en individuales", dijo Evans.
"Estoy inmensamente orgulloso de estar en la pista con Andy, pero él te dirá que está aquí para ganar. No está pensando en su retirada" , añadió.